美国留学博士学习数学通常包括以下几个阶段和课程：

完成学分课程

微积分：高等微积分课程，包括单变量和多变量微积分。

线性代数：矩阵理论、线性空间、线性变换等。

离散数学：集合论、图论、逻辑、数论等。

微分方程：常微分方程和偏微分方程。

几何：微分几何、代数几何等。

数学分析：实分析、复分析、泛函分析等。

抽象代数：群论、环论、域论等。

选修课程

概率统计：概率论、数理统计、随机过程等。

拓扑学：点集拓扑、微分拓扑等。

应用数学方向：统计、数理生物、数学物理、经济数学、计量金融等。

精算方向：微观经济、宏观经济、保险管理、风险管理等。

基础数学方向：分析导论、线性代数、抽象代数、复变函数等。

数学教学方向：中小学课程教学、数学历史等。

数学与计算机方向：计算机编程、数值方法、操作系统设计等。

其他要求

学术背景：通常需要有分析、线性代数、复杂变量、偏微分和常微分方程、概率论等方面的课程背景。

课程设置：美国大部分应用数学博士的课程设置分为完成学分课程、课程考试、口语考试、论文答辩等阶段，时间为4-7年。

申请条件：对于申请美国应用数学博士，除了上述课程背景，通常还需要满足一定的学术成绩要求，如高中GPA80分以上等。